Родился в городе Торез Донецкой области. Окончил Киевский институт музыки имени Рейнгольда Глиэра и Национальную музыкальную академию Украины имени Петра Чайковского.
В 2013-2015 годах был артистом Молодежной оперной программы Большого театра России. За это время исполнил следующие партии: Моцарт («Моцарт и Сальери» Римского-Корсакова), Юродивый («Борис Годунов» Мусоргского), Кай («История Кая и Герды» Баневича), Владимир Игоревич («Князь Игорь» Бородина) и другие.
В феврале 2014 года дебютировал в новой постановке оперы «Царская невеста» под музыкальным руководством Геннадия Рождественского, с партией Ивана Лыкова принял участие в туре Большого театра в Вене, Гонкоге, Нью-Йорке.
2015 год – победа на Парижском оперном конкурсе (1 премия и приз зрительских симпатий). В том же году певец дебютировал в партии Ленского из оперы Чайковского «Евгений Онегин», работал над этой постановкой с режиссером Димитрием Черняковым и дирижером Александром Ведерниковым (Большой театр).
В 2016 году получил II премию всемирного оперного конкурса Пласидо Доминго «Опералия» (Гвадалахара, Мексика).
С 2016 по 2018 год – солист Большого театра России.
В 2017 году спел в премьере оперы Мечислава Вайнберга «Идиот», став первым исполнителем князя Мышкина в Большом театре. Затем дебютировал в партии Царя Берендея в новой постановке оперы Римского-Корсакова «Снегурочка». За эти роли награжден Национальной оперной премией «Онегин».
Выступал на фестивалях в Экс-ан-Провансе (Франция), Савонлинне (Финляндия), Глайндборне (Великобритания).
В апреле 2018 года Богдан Волков дебютировал на сцене театра Метрополитен-опера в партии Тибальда («Ромео и Джульетта» Шарля Гуно, дирижер – Пласидо Доминго).
С сезона 2018/2019 Богдан Волков – солист Московского театра «Новая Опера» имени Евгения Колобова.
В сезоне 2018/19 выступает на международном оперном фестивале имени Федора Шаляпина (Казань), Палм Бич Опере (США), Берлинской Государственной опере, Королевской опере Ла Монне (Брюссель). Среди будущих ангажементов: дебюты в Лос-Анджелес опере, в Баварской опере, Венской Государственной опере и других театрах.